用AI解偏微分方程，這段時間確實有點火。

但是什么樣的AI解決方案是最好的，卻沒有統一的結論。

現在終于有人為這個領域做了一個完整的基準叫做PDEBench，論文已經發表在NeurIPS 2022上。

PDEBench不僅可以作為偏微分方程的大數據集，還可以作為新AI求解偏微分方程的基準之一——

這里可以找到很多老前輩的預訓模型代碼作為對比依據。

比如去年大火的FNO，幾秒鐘就解決了偏微分方程，代碼放入PDEBench。

這個新標桿一出，樂存也熱情轉發:這個領域真的很熱。

那么，AI在求解偏微分方程方面有哪些優勢，該基準具體提出了哪些評測方法。

為什么要用AI解偏微分方程。

偏微分方程是生活中常見的方程。

這個方程將用于預測天氣，模擬飛機空氣動力學和預測疾病傳播模型。

目前，北大數學系沈偉魏東義的研究方向之一是流體力學中的數學問題，包括偏微分方程中的Navier—Stokes方程。

那么，為什么要用AI來解偏微分方程呢。

AI訓練的本質是找到一個盡可能接近真實結果的模型。

用AI求解偏微分方程，其實就是找一個代理模型來模擬偏微分方程模型。

代理模型是指找到一個近似模型，在計算量較少的情況下，保證計算結果盡可能與原偏微分方程相似。

這類似于傳統的求解偏微分方程的數值方法。

傳統方法往往需要對連續問題進行離散化來逼近方程。

但是傳統的數值方法非常復雜，需要大量的計算。人工智能方法訓練的模型速度快，模擬效果好—

繼2017年華盛頓大學提出PDE—FIND之后，2018年Google AI提出了數據驅動的方法求解偏微分方程，比傳統方法快了很多，讓更多人開始關注AI求解偏微分方程的領域。

2019年，布朗大學應用數學團隊提出了一種叫做PINN的方法，徹底開啟了AI在物理領域的廣泛應用。

雖然這篇論文在理論上沒有PDE—FIND和Google AI的方法那么有突破性，但是它給出了非常完整的代碼體系，方便開發者入門，也讓更多的研究者開發出不同的PINN現在已經成為AI物理中最常見的框架和詞匯之一

平

去年，加州理工學院和普渡大學的團隊發表的一項研究將偏微分方程的計算時間從18小時減少到1秒。

本文提出了一種稱為FNO的方法，它在基于傅立葉變換的神經網絡中加入了傅立葉層，進一步節省了近似模擬算子的計算。

此外，許多研究人員訓練一些經典的人工智能模型來求解偏微分方程，如U—Net。

可是，無論是FNO，優網還是PINN，他們仍然基于各自的基準來評價AI在計算偏微分方程方面的效果。

有沒有更統一通用的框架來評價該領域的新突破。

更全面的人工智能偏微分方程基準

在這種背景下，研究人員提出了一個名為PDEBench的基準。

首先，基準中包含的數據集。目前這些數據集已經全部匯總在GitHub中:

它包括許多經典的偏微分方程，如Navier—Stokes方程，Darcy流模型，淺水波模型等。

隨后，PDEBench提出了幾個指標，從不同角度更全面地評價AI模型:

最后，PDEBench還包含了幾個經典模型的預訓練模型代碼，并將其作為評測其他模型的基準之一，包括FNO，U—Net，PINN等上面提到的

例如，研究團隊分別基于每個數據集對這些模型進行訓練，得到的均方根誤差如下，這也說明了它們在不同偏微分方程上的表現是不同的:

此外，該團隊統一了數據格式，優化了PDEBench的可擴展性，因此任何人都可以參與向該基準添加更多的數據集或基準模型。

值得注意的是，團隊嘗試分別在PyTorch和JAX框架上運行幾個預訓練模型，發現JAX的速度是PyTorch的6倍左右。

看來，我們今后可以嘗試用JAX框架進行相關研究。

NEC R&D中心歐洲高級研究員高本誠畢業于京都大學他的研究興趣是圖像處理，圖形神經網絡和科學機器學習

斯圖加特大學博士生Timothy Praditia對開發基于數據驅動和先驗物理知識的神經網絡模型感興趣。

論文地址:

PDEBench地址:

參考鏈接:

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