歐拉提出了一個(gè)類似于6×6數(shù)獨(dú)的36名軍官問題:從6個(gè)團(tuán)中選出6個(gè)不同軍銜的36名軍官，這36名軍官排列成一個(gè)方陣各排各列軍官的團(tuán)和軍銜可以不一樣嗎后來數(shù)學(xué)家證明，類似的5階和7階問題有解，6階無解后來一群物理學(xué)家腦洞大開:如果每個(gè)軍官都是兩個(gè)團(tuán)兩個(gè)軍銜的疊加狀態(tài)，這個(gè)問題有沒有解決的辦法

數(shù)獨(dú)游戲在全世界都很受歡迎不管你喜不喜歡他們，你至少聽說過這個(gè)游戲的規(guī)則:一個(gè)9×9的格子被分成9個(gè)3×3的宮殿把數(shù)字1~9填在這些方格里，確保每行，每列，每宮都沒有重復(fù)的數(shù)字一般一個(gè)數(shù)獨(dú)游戲會(huì)給出一些提示，剩下的數(shù)字需要玩家推理來填充就是這么簡單的規(guī)則，衍生出了很多解題技巧，吸引了無數(shù)玩家

數(shù)獨(dú)的前身可以追溯到18世紀(jì)的歐洲，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉總結(jié)了一種叫做拉丁方塊的流行填字游戲游戲的規(guī)則是在N階的正方形格子中填入N種拉丁字母，這樣每行每列的字母就不會(huì)重復(fù)這種方陣不限于9階，也不受宮位限制，但保留了數(shù)獨(dú)最基本的要求每行每列不重復(fù)

但讓歐拉著迷的是更復(fù)雜版本的拉丁方陣歐拉考慮用一個(gè)拉丁字母和一個(gè)希臘字母填充每個(gè)網(wǎng)格，這樣每行和每列的字母就不會(huì)重復(fù)，每個(gè)網(wǎng)格中的希臘—拉丁字母對也不會(huì)重復(fù)這種正方形被稱為希臘—拉丁正方形，其本質(zhì)是將兩個(gè)正交的拉丁正方形組合成一個(gè)正方形這里的正交性是指兩個(gè)正方形對應(yīng)的格子形成的有序?qū)Σ恢貜?fù)如果你也想試試，格子里的元素不一定是希臘和拉丁字母，也可以用撲克牌的顏色組合，甚至是有序的數(shù)字對

同樣的三階希臘—拉丁方塊，用字母，撲克顏色和有序數(shù)字對來表示。未解決的36位官員問題

歐拉在仔細(xì)考察希臘—拉丁方后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象:可以構(gòu)造3，4，5，7階的希臘—拉丁方，但不能構(gòu)造2，6階的希臘—拉丁方2階的問題很容易處理從窮舉法可以看出，這樣的希臘拉丁方陣是不存在的，而6階的問題相對復(fù)雜歐拉用更通俗的語言重復(fù)了這個(gè)問題:從6個(gè)團(tuán)中各選出6個(gè)不同軍銜的36名軍官，這36名軍官排成一個(gè)方陣各排各列軍官的團(tuán)和軍銜可以不一樣嗎

3，4，5，7級軍官問題解決方案格子的顏色代表軍團(tuán)，格子里的符號代表軍銜

歐拉認(rèn)為這個(gè)36官問題是無解的，即不存在6階希臘—拉丁方陣他猜測所有被4 ^ 2整除的希臘—拉丁方不存在，也就是說，2，6，10，14階的希臘—拉丁方不存在...并不存在

一個(gè)多世紀(jì)后的1901年，法國數(shù)學(xué)家加斯東·程昕婷用窮舉法證明了按規(guī)則構(gòu)造的6階方陣的網(wǎng)格中的元素會(huì)一直重復(fù)，6階希臘—拉丁方陣不存在1959年，一些數(shù)學(xué)家證明歐拉的進(jìn)一步猜想不成立，也就是說，除了2階和6階，其他階的希臘—拉丁方陣都存在至此，這個(gè)關(guān)于數(shù)獨(dú)原版的問題有了數(shù)學(xué)上的答案

量子解

時(shí)間來到21世紀(jì)，一群物理學(xué)家重新發(fā)現(xiàn)了36個(gè)軍官的歐拉問題雖然這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上已經(jīng)塵埃落定，但他們從物理角度開了一個(gè)腦洞:如果這36名軍官處于量子疊加狀態(tài)，每個(gè)軍官部分屬于一個(gè)團(tuán)一個(gè)軍銜，部分屬于另一個(gè)團(tuán)另一個(gè)軍銜，這個(gè)問題還會(huì)解決嗎

沿著這個(gè)思路，一些物理學(xué)家修改了希臘—拉丁方陣的規(guī)則，給出了數(shù)獨(dú)的量子版本在量子力學(xué)中，物體的狀態(tài)可以用矢量來表示在量子版的36軍官問題中，每個(gè)軍官所在的團(tuán)可以表示為一個(gè)6維空間中的向量，他的軍銜可以表示為另一個(gè)6維空間中的向量因?yàn)檐姽倏梢蕴幱诟鞣N疊加狀態(tài)，這些向量可以不同，他們排列的6×6方陣很容易滿足每行每列向量不同的要求，但不值得研究物理學(xué)家感興趣的是每一行和每一列的向量是否構(gòu)成他們空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

要理解所謂的標(biāo)準(zhǔn)正交基，可以打個(gè)比方在熟悉的三維空間中，我們可以建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系中沿X，Y，Z軸的單位向量形成一組標(biāo)準(zhǔn)的正交基這三個(gè)向量滿足以下要求:方向成對垂直，大小為單位長度36軍官問題可以類似的理解，就是說6×6方陣中代表軍官兵團(tuán)和軍銜的向量要滿足以下要求:每行和每列的向量是成對垂直的，大小是單位長度

其實(shí)代表兵團(tuán)的六維空間和代表軍銜的六維空間可以展開成一個(gè)36維的空間，每個(gè)軍官的兵團(tuán)和軍銜都可以用這個(gè)36維空間中的一個(gè)向量來表示這些向量排列的6×6方陣還是需要滿足的:每一行每一列的向量都是成對垂直的，大小是單位長度

在最近提交給《物理評論快報(bào)》的一篇預(yù)印論文中，來自印度理工學(xué)院，波蘭賈格隆大學(xué)和其他機(jī)構(gòu)的物理學(xué)家找到了對這一量子版36位官員問題的理解首先，他們構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)典的6×6希臘—拉丁方陣的近似解，然后在計(jì)算機(jī)的幫助下將近似解調(diào)整為量子版本他們使用一種算法來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)這個(gè)算法有點(diǎn)像暴力破解魔方先拼第一行，再拼第一列和第二列，以此類推，直到最后拼出完整的魔方當(dāng)他們一遍又一遍地重復(fù)算法時(shí)，得到了量子版36官問題的解

量子36版軍官問題的解決方案每個(gè)格子中的牌都是兩點(diǎn)兩種花色的疊加狀態(tài)，其中字體的大小反映了疊加分量的大小

本文用撲克牌代替軍官:點(diǎn)A，K，Q，J，10，9代替軍團(tuán)，色，，，，而不是等級在最終的量子解中，每個(gè)格子上的牌都是兩點(diǎn)兩花色的疊加狀態(tài)值得注意的是，每當(dāng)網(wǎng)格中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)A時(shí)，疊加在上面的點(diǎn)數(shù)一定是K，同q，10，9而每當(dāng)格子里有一種顏色，疊加在上面的顏色一定是，與，和相同這說明量子糾纏是成對的點(diǎn)和色發(fā)生的也是因?yàn)榧m纏態(tài)，整個(gè)方陣無法像經(jīng)典的希臘—拉丁方陣一樣，按照點(diǎn)數(shù)和顏色分解成兩個(gè)獨(dú)立的拉丁方陣這也是量子拉丁方陣的特殊之處

研究人員表示，這個(gè)古老數(shù)獨(dú)問題的量子解相當(dāng)于一個(gè)四粒子系統(tǒng)的絕對最大糾纏態(tài)這種糾纏態(tài)可以應(yīng)用于量子計(jì)算中的糾錯(cuò)等很多場景比如量子計(jì)算機(jī)中冗余信息以這種狀態(tài)存儲時(shí)，即使數(shù)據(jù)被破壞，信息也能保存下來這個(gè)起源于歐拉的古老數(shù)學(xué)問題，在243年后得到了物理學(xué)的新解答也許這對于理論物理學(xué)家來說只是一個(gè)好玩的腦洞，但對于量子通信和量子計(jì)算的研究人員來說卻是大有裨益的科學(xué)進(jìn)步往往發(fā)生在這樣的游戲中

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